02 Analisis Dimensional

ANALISIS DIMENSIONAL

DEFINICION DE FISICA

Es una ciencia experimental dedicada a describir la naturaleza fundamental del universo desarrollando teorías basadas en leyes que rigen los fenómenos naturales, estas leyes describen los resultados de observaciones y de mediciones cuantitativas de los procesos naturales.

Cantidades o Magnitudes físicas

Una magnitud o cantidad física es toda característica de un objeto o fenómeno físico que pueda ser medido.

Las medidas de las magnitudes se realizan mediante las unidades de medida, establecidas por el Sistema Internacional de unidades (SI)

Son ejemplos de cantidades físicas: el tiempo, la densidad, la energía, etc.

Las Cantidades físicas se clasifican:

● SEGÚN SU ORIGEN en Cantidades fundamentales y derivadas

● SEGÚN SU NATURALEZA en Cantidades escalares o vectoriales.

Cantidades Fundamentales

Son aquellas cantidades elementales e independientes entre sí es decir que no puede descomponerse en unidades más simples.

Cantidades Derivadas

Son aquellas cantidades que pueden ser expresadas en función de las magnitudes fundamentales.

ANALISIS DIMENSIONAL

El análisis dimensional estudia la relación de las cantidades físicas derivadas con las fundamentales.

- El análisis dimensional sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales.

- Sirven para comprobar la veracidad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional.

- Sirven para deducir las fórmulas a partir de datos experimentales.

ECUACION DIMENSIONAL

Es la expresión de una magnitud en términos de magnitudes fundamentales. Se adopta el símbolo [ ] para representar la formula dimensional de la magnitud física.

,

Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque sólo operan en las magnitudes.

[X] = Ecuación Dimensional de X

[X] = L^a M^b T^c θ^d I^e J^f N^g

Dónde: a; b; c; d; e; f; g son números reales

Cantidades Adimensionales:

Son aquellas cantidades que no tienen dimensiones y no representa alguna cantidad física. La constante numérica, los ángulos y los exponentes son adimensionales, también las funciones trigonométricas exponenciales y logarítmicas Las dimensiones de las cantidades adimensionales se igualan a la unidad.

Las expresiones adimensionales como trigonométricas, logarítmicas y exponenciales se representan por la unidad (1).

PRINCIPIO DE HOMOGENIDAD

Una ecuación es dimensionalmente homogénea, si todos sus términos tienen las mismas dimensiones,

Si:      A + B³ = C – D

Se cumple:

[A] = [B³] = [C] = [D]

PROPIEDADES:

● Las dimensiones no cumplen la suma y resta algebraica.

[A] ± [A] = [A]

● [AB] = [A][B]

● [ ] =

● [Aⁿ] = [A]ⁿ

● Las cantidades físicas se pueden sumar o restar siempre que sus dimensiones sean iguales.

[A ± B]ⁿ = [A]ⁿ = [B]ⁿ

● Cuando tenemos magnitudes o cantidades físicas en los exponentes

[Exponentes] = 1

Ejemplo 1: En la Ecuación de Gases Ideales, hallar la ecuación dimensional de R

PV = RTn

Presión (P) = L^-1MT^-2

Volumen (V) = L³

Temperatura (T) = θ

Cantidad de sustancia (n) = N

L^-1MT^-2 L³ = [R]θN → L²MT^-2 = [R]θN

[R] = L²MT^-2θ^-1N^-1

Ejemplo 2: Hallar “K”

V² =  K

Dónde: V es velocidad; f es fuerza; m = masa

(LT^-1)² =  [K]  → L²T^-2 = [K]LT^-2

[K] = L

Ejemplo 3: Hallar [K] en la ecuación de la energía cinética molecular de los gases monoatómicos

E = KT

Dónde: K es constante de Boltzman; T es temperatura

L²MT^-2 = [ ][K]θ → L²MT^-2 = 1[K]θ

[K] = L²MT^-2θ^-1

Ejemplo 4: Hallar la dimensión de “α” y “β” en la siguiente fórmula:

V = αA + βD

Dónde: V es volumen; A es área; D es densidad

- Principio de homogeneidad:

[V] = [α][A] = [β][D]

- [V] = [α][A] → L³ = [α]L²

[α] = L

- [V] = [β][D] → L³ = [β]ML^-3

[β] = M^-1L⁶

Ejemplo 5: Hallar la dimensión de B:

( )LogX + BC^sen60º

Dónde: A es área; P es presión; C es tiempo

( )LogX + BC²

- Principio de homogeneidad:

[LogX] = [BC²] → (1) = [BC²]

 = [B][C]² → [B] = L²T^-2LM^-1T²

[B] = L³M^-1

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta, hallar las dimensiones de X y Y.

E = XT + YT²

E es distancia y T es tiempo

a) LT y LT^-2   b) LT^-1 y LT^-2 c) LT^-1 y LT

d) LT^-2 y LT^-2 e) LT^-1 y LT²

2. Dada la gráfica A vs B, Hallar la dimensión de la pendiente de la recta.

A es masa y B es volumen.

A

B

a) M^-1L^-1       b) ML^-1         c) ML^-2

d) ML^-3         e) M^-1L^-2

3. La ecuación de la Ley de Gravitación universal es dimensionalmente correcta, hallar las dimensiones de G.

F = G

F es fuerza; m₁ y m₂ son masa y d es distancia

a) LM^-1T²      b) L^-1M^-1T²    c) L³M^-1T^-2

d) L²MT²       e) L^-1M^-1T^-2

4. La ecuación de la Velocidad de Ondas Electromagnéticas es dimensionalmente correcta, hallar las dimensiones de la permeabilidad magnética del vacío

c =

c es velocidad lineal y ε_o es permitividad eléctrica del vacío

a) LMT^-2 I^-2   b) LMT^-2 I     c) L³M^-1T^-2I

d) LM^-1T^-2 I^-2  e) L^-1MT^-2I²

 

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